Dirac Operators

Abstract

[EN] This work is a mostly self-contained survey on Dirac operators. It starts by laying the fundamental building blocks at the heart of spin geometry, specifically its elemental geometrical and algebraic aspects. Thus, the concepts of vector and principal bundles over manifolds, Clifford algebras, the Pin and Spin groups, the spin representation and the spinor bundle are explored. A brief commentary on connections and linear differential operators on manifolds is also provided. Subsequently, the fundamental Dirac operator is presented, along with a review of its most important basic properties. The last section is devoted to a study of the Dirac spectrum on compact manifolds, including some explicit computations and bounds of the lower nonzero eigenvalue.

[ES] Este trabajo es un estudio esencialmente autocontenido de los operadores de Dirac. Empieza por establecer las bases fundamentales de la geometría espinorial, específicamente sus aspectos geométricos y algebraicos elementales. Así, se exploran los conceptos de fibrados vectoriales y principales, así como las álgebras de Clifford, los grupos Pin y Spin, la representación espinorial y el fibrado de espinores. También se proporciona un breve comentario sobre conexiones y operadores diferenciales en variedades. A continuación, se presenta el operador fundamental de Dirac, junto con un repaso a sus propiedades básicas más importantes. La última sección está dedicada al estudio espectral del operador de Dirac en variedades compactas, incluyendo algunos cálculos concretos y estimaciones de las cotas inferiores del primer autovalor no nulo.