Teorema fundamental de la teoría local de superficies en R³

Abstract

[ES] Dado un abierto U de R², es bien sabido, (de la materia Curvas y Superficies del Grado de Matemáticas), que toda parametrización Φ : U → R³ tiene asociadas dos funciones matriciales I, II : U → M₂x₂(R) que reciben el nombre de primera y segunda forma fundamentales de la parametrización y que a cada punto de U le asignan sendas matrices 2 x 2 simétricas, siendo I(u) definida positiva para todo u ∈ U. En este trabajo probaremos el Teorema Fundamental de Superficies, el cual dice lo siguiente: dadas dos funciones g,L : U → M₂x₂(R) definidas en un abierto U de R² y con valores en el espacio vectorial de las matrices simétricas 2 x 2 (con la primera de ellas definida positiva) y fijados u₀ ∈ U, p₀ ∈ R³ y una base ortonormal (w1;w2;w3) de orientación positiva en R³ entonces existen un entorno abierto U₀ ⊂ U y una parametrización Φ : U₀→ R³ cuya imagen S es una superficie que contiene a Φ(u₀) = p₀, y cuya base X₁(p₀) = D₁Φ(u₀), X₂(p₀) = D₂Φ(u₀) del plano tangente Tp₀S verifica X₁(p₀) = w₁, X₂(p₀) = w₂, (X₁(p₀) x X₂(p₀))/ X₁(p₀) x X₂(p₀)// = w3. Además para todo u ∈ U₀ las matrices de la primera forma fundamental de la parametrización en u coinciden respectivamente con g(u) y L(u). La primera y segunda forma fundamental se definen, de manera única, en una superficie de R³ salvo isometrías, y dadas dos formas cuadráticas podemos construir una superficie tal que esas formas cuadráticas sean su primera y segunda forma fundamental si satisfacen ciertas condiciones llamadas ecuaciones de compatibilidad. Esto fue estudiado por primera vez por el matemático francés Pierre Ossian Bonnet (1819-1892). En diversos textos se puede encontrar este teorema bajo el nombre de Teorema de Bonnet. Actualmente es complicado encontrar en la literatura básica de geometría una demostraci ón uniforme de estos resultados y es eso precísamente lo que haremos en este trabajo. También veremos la relación que tiene este teorema con el criterio de Frobenius, que utilizaremos para saber si un sistema de ecuaciones diferenciales parciales tiene solución común. Observaremos a lo largo del trabajo que la primera y segunda forma fundamental de una superficie están relacionadas mediante las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y la ecuación de Gauss, que son conocidas como las condiciones de compatibilidad y son una condición suficiente para la demostración del teorema. Estas ecuaciones fueron demostradas inicialmente por Gauss con una notación algo complicada y posteriormente fueron demostradas con una notación más accesible por Mainardi y Codazzi de forma casi simultánea en 1856.

[EN] Given an open U of R², it is well known, (from the subject Curves and Surfaces of the Mathematics Degree), that all parameterization Φ : U → R³ has two matrix functions associated I, II : U → M₂x₂(R) which receive the name of first and second fundamental forms of the parametrization and that to each point of U assigns 2 x 2 symmetrical matrixes, being I (u) defined positive for all u ∈ U. In this work we will prove the Theorem of Local Surface which says the following: given two functions g,L : U → M₂x₂(R) defined in an open U of R² with values of the vector space of the symmetric matrixes 2 x 2 (with the first of them defined positive) and fixed u₀ ∈ U, p₀ ∈ R³ and an orthonormal basis (w1;w2;w3) of positive orientation in R³ then there is an open environment U₀ ⊂ U and a parameterization Φ : U₀→ R³ whose image S is a surface containing Φ(u₀) = p₀, and whose base X₁(p₀) = D₁Φ(u₀), X₂(p₀) = D₂Φ(u₀) of the tangent plane Tp₀S verifies X₁(p₀) = w₁, X₂(p₀) = w₂, (X₁(p₀) x X₂(p₀))/ X₁(p₀) x X₂(p₀)// = w3 In addition, for all u ∈ U₀ the matrixes of the first fundamental form of the parameterization in u coincide respectively with g (u) and L (u). The first and second fundamental form are defined, in a unique way, in a surface of R³ except isometries, and given two quadratic forms we can construct a surface such that those quadratic forms are their first and second fundamental form if they satisfy certain conditions called compatibility equations. This was first studied by the French mathematician Pierre Ossian Bonnet (1819-1892). This theorem can be found in some texts under the name of Bonnet's Theorem. Currently, it is difficult to find a uniform demonstration of these results in the basic geometry literature and that is precisely what we will do in this work. We will also see the relationship that this theorem has with the Frobenius criterion, which we will use to know if a system of partial di erential equations has a common solution. We will observe throughout this work that the fist and second fundamental form of a surface are related by the Mainardi-Codazzi equations and the Gaussian equation, which are known as the compatibility conditions and are a sufficient condition for the proof of the theorem. These equations were initially demonstrated by Gauss with a complicated notation and were later demonstrated with a more accessible notation by Mainardi and Codazzi almost simultaneously in 1856.