Métodos núcleo para la estimación de la densidad en la recta real y en el círculo

Abstract

[ES] La estimación de la función de densidad es uno de los principales problemas de la estadística, en particular, de la estadística no paramétrica. En este contexto, el estimador tipo núcleo de la densidad, introducido por Parzen y Rosenblatt, es un estimador continuo que permite aproximar de manera satisfactoria la densidad de una variable aleatoria con soporte real. En este trabajo, generalizaremos el estimador tipo núcleo lineal (variables con soporte real) al contexto circular (variables con soporte en el círculo unidad). La continuidad de este estimador fue un gran avance desde la introducción del histograma en cuanto a estimadores no paramétricos de la densidad, sin embargo, su comportamiento es muy sensible a la selección del parámetro ventana o de suavizado: revisaremos los métodos de selección de dicho parámetro más utilizados, tanto en el caso lineal como en el circular, lo cual será determinante para obtener una buena estimación de la función de densidad. A continuación, realizaremos un estudio de simulación para comparar el funcionamiento de dichos selectores en ambos contextos, cuyo objetivo será buscar aquel que minimice el error cometido con respecto a la densidad teórica de modo local (para un punto fijo) y global. Para finalizar, se ilustra la aplicación práctica de las técnicas presentadas mediante dos conjuntos de datos reales, uno para cada contexto (lineal y circular), realizando una comparativa con los resultados obtenidos en el estudio de simulación previo

[EN] The estimation of the density function is one of the main problems in statistics, in particular in non-parametric statistics. In this context, the kernel estimator of density, introduced by Parzen and Rosenblatt, is a continuous estimator that allows a satisfactory approximation of the density of a random variable with real support. In this work, we will generalize the linear kernel estimator (variables with real support) to the circular context (variables with support in the unit circle). The continuity of this estimator was a great advance since the introduction of the histogram in terms of non-parametric density estimators, however, its behavior is very sensitive to the selection of the window or smoothing parameter: we will review the most used selection methods for this parameter, both in the linear and circular cases, which will be decisive in obtaining a good estimate of the density function. Next, we will carry out a simulation study to compare the operation of these selectors in both contexts, the objective of which will be to find the one that minimizes the error made with respect of the theoretical density locally (for a fixed point) and globally. Finally, the practical application of the techniques presented is illustrated by means of two sets of real data, one for each context (linear and circular), making a comparison with the results obtained in the previous simulation study.