Clasificación das superficies compactas por cirurxía

Abstract

[GL] Comezamos o traballo cun capítulo introdutorio no que presentamos nocións básicas de espazos de identificación e pegados de espazos, así como unha visión elemental sobre accións de grupos. Engadimos a definición de superficie pechada e describimos dous métodos para construír as da lista para irnos familiarizando con elas. Ambas perspectivas conducen a diferentes probas do teorema de clasificación, a clásica de Radó e a baseada no teorema de uniformación de Riemann-Poincaré. A nosa perspectiva é outra, aínda que combina ideas presentes nos traballos de Poincaré e Radó. No segundo capítulo desenvolveremos os conceptos de símplice e complexo simplicial, para poder descompoñer os espazos en pezas sinxelas coas que poderemos traballar, é dicir, triangulalo. Definimos isomorfismo de complexos, a construción cono e maila subdivisión baricéntrica, que será de vital importancia no último capítulo. Ademáis, probamos que as superficies C∞ diferenciables (basta C¹ en realidade) son triangulables seguindo unha idea de André Weil: atopamos un recubrimento da superficie con boas propiedades, definimos o nervio deste recubrimento e unha proxección na superficie valéndonos dunha métrica de Riemann e dividimos os polígonos xeodésicos en triángulos. No terceiro capítulo estamos en condicións de abordar finalmente a proba do teorema de clasificación dada por Christopher Zeeman. Describimos o pegado de asas e bandas de Möbius para fixar as superficies modelo da nosa lista e, traballando sobre a súas triangulacións, concretamos a idea de engrosar un subcomplexo e definimos a característica de Euler-Poincaré X(S). Chegamos entón á idea clave, o proceso de cirurxía, que xunto con X(S) permítenos transformar calquera superficie nunha esfera combinatoria nun número finito de pasos. Dende alí revertermos a modificación pegando asas ou bandas para recuperar unha superficie estándar, probando desta forma o teorema de clasificación.

[EN] We begin with an introductory chapter where we present basic notions on identification spaces and how to attach spaces, as well as an elementary vision on group actions. We include the definition of closed surfaces plus we describe two ways in which we could craft them, helping us familiarize with the model surfaces of the classification theorem. Those perspectives lead to different proofs such as the classic one from Radó or the one based on Riemann-Poincare uniformization theorem. In the second chapter we develop the concept of simplex and simplicial complex; in order to break spaces down into simple pieces with which we can work, that is, to triangulate them. We define what means for two complexes to be isomorphic, the cone construction and the baricentric subdivision, which will be f vital importance on our last chapter. In addition, we prove that C∞ - differentiable surfaces (actually we only need C¹ ) are triangulable following an idea by André Weil: first we find an atlas with good properties, we define the nerve of the atlas and a projection onto the surface making use of geodesics and lastly we chop geodesic polygons into triangles. On the third chapter we are finally able to tackle Zeeman's proof of the classification theorem. We describe glueing handles and Möbius strips, allowing us to determine the standard surfaces of our list and, working with triangulations, we specify the idea of thickening subcomplexes and we define the Euler-Poincaré characteristic X(S). We arrive at the key idea, surgery, which altogether with Euler-Poincaré characteristic allow us to transform any surface into a combinatorial sphere on a finite number of steps. We then invert the modification glueing handles or Möbius strips, recovering a standard surface and thus proving the classification theorem.