Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por medio de Transformadas Integrales

Abstract

[ES] Las ecuaciones diferenciales aparecen en un amplio abanico de campos como pueden ser la biología, la economía, la física... En este trabajo consideraremos una forma alternativa de resolverlas, mediante el uso de transformadas integrales. Estudiaremos dos tipos de transformadas: la de Laplace y la de Fourier. Veremos sus definiciones y algunas de sus principales propiedades y nos centraremos en la importancia de estas transformadas para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales. Destacaremos su utilidad para resolver este tipo de ecuaciones por convertir problemas que por otros métodos pueden resultar complicados, en ecuaciones algebraicas más simples. También trataremos problemas clásicos como el de Abel y estudiaremos soluciones generalizadas en las que usaremos las funciones de Heaviside y Dirac. Se presentan algunos ejemplos en los que se pondrá de manifiesto la utilidad de estas técnicas.

[EN] Differential equations appear in a wide range of fields such as biology, economics, physics... In this work we will consider an alternative way of solving them, by using integral transforms. We will study two types of transforms: the Laplace transform and the Fourier transform. We will look at their definitions and some of their main properties and we will focus on the importance of these transforms for solving Ordinary Differential Equations and Partial Differential Equations. We will highlight their usefulness in solving these types of equations by converting problems that can be complicated by other methods into simpler algebraic equations. We will also deal with classical problems such as Abel's problem and we will study generalised solutions in which we will use the Heaviside and Dirac functions. Some examples are presented in which the usefulness of these techniques will be shown.